Problems on Factorization of Expressions of the Form a$^{2}$ - b$^{2}$

Here we will solve different types of Problems on Factorization of expressions of the form a² – b².

1. Resolve into factors: 49a² – 81b²

Solution:

Given expression = 49a² – 81b²

                         = (7a)² – (9b)²

                         = (7a + 9b)(7a – 9b).

2. Factorize: (x + y)² – 4(x – y)²

Solution:

Given expression = (x + y)² – 4(x – y)²

                         = (x + y)² – {2(x – y)}²

                         = {(x + y) + 2(x – y)}{(x + y) - 2(x – y)}

                         = (x + y + 2x – 2y)(x + y - 2x + 2y)

                         = (3x – y)(3y - x).

3. Factorize the expression (x² + y² – z²)² – 4x²y² of the form a² – b².

Solution:

Given expression = (x$^{2}$ + y$^{2}$ – z$^{2}$)$^{2}$ – 4x$^{2}$y$^{2}$

                         = (x$^{2}$ + y$^{2}$ – z$^{2}$)$^{2}$ – (2xy)$^{2}$

                         = (x$^{2}$ + y$^{2}$ – z$^{2}$ + 2xy)(x$^{2}$ + y$^{2}$ – z$^{2}$ – 2xy)

                         = (x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$ - z$^{2}$)(x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$ – z$^{2}$)

                         = {(x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$) - z$^{2}$}{(x$^{2}$ - 2xy + y$^{2}$) – z$^{2}$}

                         = {(x + y)$^{2}$ - z$^{2}$}{(x -  y)$^{2}$ - z$^{2}$}

                         = (x + y + z)(x + y - z)(x -  y + z) (x -  y - z).

4. Factorize 2x$^{2}$ - 18 of the form a$^{2}$ – b$^{2}$.

Solution:

Given expression = 2x$^{2}$ - 18

                          = 2(x$^{2}$ – 9)

                          = 2(x$^{2}$ – 3$^{2}$)

                          = 2(x + 3)(x - 3)

5. Factorize: 25(a + b)$^{2}$ – (a – b)$^{2}$

Solution:

Given expression = 25(a + b)$^{2}$ – (a – b)$^{2}$

                          = {5(a + b)}$^{2}$ – (a – b)$^{2}$

                          = {5(a + b) + (a – b)}{5(a + b) – (a – b)}

                          = (5a + 5b + a – b)(5a + 5b - a + b)

                          = (6a + 4b)(4a + 6b)

                          = {2(3a + 2b)}{2(2a + 3b)}

                          = 4(3a + 2b)(2a + 3b)

6. Factorize the expression 9(x + y)$^{2}$ – x$^{2}$ of the form a$^{2}$ – b$^{2}$.

Solution:

Given expression = 9(x + y)$^{2}$ – x$^{2}$

                         = {3(x + y)}$^{2}$ – x$^{2}$

                         = {3(x + y) + x}{3(x + y) - x}

                         = (3x + 3y + x)(3x + 3y - x)

                         = (4x + 3y)(2x + 3y)

7. Factorize the expression 9x$^{2}$ – 4(y + 2x)$^{2}$ of the form a$^{2}$ – b$^{2}$.

Solution:

Given expression = 9x$^{2}$ – 4(y + 2x)$^{2}$

                         = (3x)$^{2}$ – {2(y + 2x)}$^{2}$

                         = {3x + 2(y + 2x)}{3x - 2(y + 2x)}

                         = (3x + 2y + 4x)(3x - 2y - 4x)

                         = (7x + 2y)(-x - 2y)

                         = (7x + 2y){-(x + 2y)}

                         = -(7x + 2y)(x + 2y)

8. Factorize: 1 – (b – c)$^{2}$

Solution:

Given expression = 1 – (b – c)$^{2}$

                         = 1$^{2}$ – (b – c)$^{2}$

                         = {1 + (b – c)}{1 - (b – c)}

                         = (1 + b – c)(1 - b + c)

9. Factorize: 81a$^{4}$ – 16b$^{4}$

Solution:

Given expression = 81a$^{4}$ – 16b$^{4}$

                          = (9a$^{2}$)$^{2}$ – (4b$^{2}$)$^{2}$

                          = (9a$^{2}$ + 4b$^{2}$)(9a$^{2}$ - 4b$^{2}$)

                          = (9a$^{2}$ + 4b$^{2}$){(3a)$^{2}$ - (2b)$^{2}$}

                          = (9a$^{2}$ + 4b$^{2}$)(3a + 2b)(3a - 2b)

10. Factorize: 16ax$^{4}$ – ay$^{4}$

Solution:

Given expression = 16ax$^{4}$ – ay$^{4}$

                         = a(16x$^{4}$ – y$^{4}$)

                         = a{(4x$^{2}$)$^{2}$ – (y$^{2}$)$^{2}$}

                         = a(4x$^{2}$ + y$^{2}$)(4x$^{2}$ - y$^{2}$)

                         = a(4x$^{2}$ + y$^{2}$){(2x)$^{2}$ - y$^{2}$}

                         = a(4x$^{2}$ + y$^{2}$)(2x + y)(2x – y)

11. Factorize: a$^{4}$ – 16b$^{4}$

Solution:

Given expression = a$^{4}$ – 16b$^{4}$

                         = (a$^{2}$)$^{2}$ – (4b$^{2}$)$^{2}$

                         = (a$^{2}$ + 4b$^{2}$)(a$^{2}$ - 4b$^{2}$)

                         = (a^2 + 4b$^{2}$){a$^{2}$ – (2b)$^{2}$}

                         = (a^2 + 4b$^{2}$)(a + 2b)(a - 2b)

9th Grade Math

From Problems on Factorization of Expressions of the Form a^2 – b^2 to HOME PAGE